三维空间中的克莱因瓶数学领域中，克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面，比如2维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

定义　

　数学领域中，克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面，比如2维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中“Fläche”是表面的意思。大概是误写为了“Flasche”，这个词才是瓶子的意思。不过不要紧，“瓶子”这个词用起来也非常合适。　在 1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。

具体分析　　

我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在

无法爬到内表面上去。轮胎面(环面)也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢？我们用扭结来打比方。如果我们把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶。好玩的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个麦比乌斯圈！穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。